SU(3) group과 쿼크. Meson과 Baryon의 형성에 대해서.

1. 20세기 초중반기 우주선(cosmic ray)에서 매우 많은 종류의 새로은 입자들이 발겼되었다. 정리계의 모범답안이었던 주기율표의 선례를 따라 입자들을 분류하고 정리하고자 하는 노력들이 계속되었다. 가장 기본적인 연구방법은 입자들간의 반응과 반응결과, 입자의 붕괴과정을 연구하는 것이다. 그 과정에서 lepton number conservation, flavor conservation 등의 보존법칙이 등장하게 된다. 질량과 에너지의 관점에서는 일어날 수 있는 반응임에도 일어나지 않는 반응들은 관찰하며 다양한 Quantum number들이 도입된 결과다. 그 중 strangeness 양자수는 그 이름으로 부터 알 수 있는 것 처럼 참 strange하다.
    이렇게 새로운 양자수들의 등장과 몇몇 보존법칙들을 통해 정리의 윤곽이 잡혀갈 때, 겔만은 쿼크모델을 제시한다. 이 모델은 양자역학에서 널리 쓰이던 스핀과 각운동량에 관한 SU(2) group을 확장한 것이다. 이 포스팅에서는 쿼크모델에 대해서 살펴보고자 한다.
    
2.  양자역학을 수강한 대학생이라면 스핀에 대해 잘 알고있을 것이다. 가장 간단한 예로 전자 두개의 상태를 떠올려해보자. 전자는 +1/2 혹은 -1/2의 스핀을 가진다. 따라서 두개의 전자가 만들 수 있는 상태는 전체 스핀 양자수가 1 혹은 0 인 상태다. 전체 스핀 양자수가 1인 상태는 z방향 성분의 스핀에 따라 +1, 0, -1로 나뉘어 진다. 이 중 +1 상태의 경우는 당연히 두 전자가 모두 +1/2의 스핀을 가지는 상태다. 여기에 우리는 S- operator를 사용해 0, -1 상태가 두 개의 전자들로 어떻게 구성되는지 알 수 있다. S- operator 는 Sx - i Sy 로 정의된다. 이 operator를 스핀 스테이트에 작용시키면 전체 스핀 양자수는 그대로이면서 z방향 성분은 1씩 내리게 된다. 이러한 성질 때문에 step down operator라고도 부른다. S+ = Sx + i Sy는 같은 맥락으로 step up operator라 부른다. 양자역학을 제대로 배웠다면 전자의 갯수가 몇개가 되던지 이 step up & down operator를 사용해 Clebsch-Gordon coefficients들을 계산할 수 있을 것이다.
    Color charge에 대한 이론에서는 +1/2와 -1/2의 두 개뿐이었던 전자의 스핀 스테이트를 확장하여 3개로 가지고 간다. 따라서 기존의 Pauli matrix가 2*2 였던 것이 비해 3*3행렬이 도입된다. SU(3) group은 3*3 행렬들 중에서 Unitary하고 determinant가 1인 행렬들의 group이라는 뜻이다. 이 group에는 9개의 독립적인 행렬들이 존재할 수 있고, 우리가 사용할 용도에 따라 9개를 잡는 것은 좌표계의 기저를 정하는 것 만큼 자유롭지만 전통적인 방법을 따르도록 하자. 그것은 아래와 같다.
   
   
    의 eigen vector들과 함께,
   
   을 diagonalized 된 행렬로 고른다. 그 후에 스핀에서 사용했던 step up & down operator의 개념을 가지고 와서 R에서 G를 오가는 operator를 람다 1, 2를 사용해
   
   로 생각할 수 있다. R과 B를 오가는 것을 람다 4,5 의 operator로, G와 B를 오가는 것을 람다 6, 7의 operator로 생각하면 간단하게 익히 알려진 나머지 Gell-Mann matrix들을 계산할 수 있다. 이것은 가장 간단한 SU(3) group의 예라고 할 수 있다.
   (http://en.wikipedia.org/wiki/Gell-Mann_matrices)
      
3.  위의 Color에 관한 이야기에서 사용한 것을 이제 flavor로 가지고 가도록 하자. 흔히 말하는 isospin과 strangness를 결합하는 내용이다. isospin은 양성자와 중성자가 전하에 의한 차이 말고는 질량이나 스핀에서 크게 차이를 가지지 않기 때문에 같은 입자의 다른 스테이트라고 생각하는 아이디어에서 나온 것이다. 둘 모두 I = 1/2이고 양성자는 I3 = 1/2, 중성자는 I3 = -1/2라고 생각하면 전자의 스핀에 대한 내용과 똑같다. 쿼크모델에서는 u 쿼크가 I3 = 1/2, d 쿼크가 I3 = -1/2라고 생각하고,  s 쿼크은 I = 0이다. 대신 s 쿼크는 strangeness를 가진다. 그 값은 -1이다. 따라서 I3 를 x 축으로 하고, S(strangeness)를 y축으로 잡아 좌표평면 위에 각 quark들의 위치를 나타낼 수 있다. 그런데 이렇게 하면 세개의 쿼크가 만드는 삼각형의 중심이 원점에 있지 않으므로 원점에 놓기위해 hypercharge라는 개념을 도입한다. Y = B + S이고 여기서 B는 baryon number 로 각각의 쿼크는 1/3의 값을 가진다. 이제 I3와 Y의 평면에서 세개의 쿼크가 만드는 삼각형의 중심이 원점에 있음을 확인할 수 있다. anti-quark들이 만드는 삼각형은 ordinary-quark들이 만든 삼각형을 180도 회전한 모양이 된다.
      
4. Meson 의 형성.
    Meson 이라는 이름은 중간정도의 무게라는 뜻이다. 입자들이 발견되던 당시 가벼운 입자인 전자등을 그 뜻을 담아 Lepton이라고 이름붙이고, 양성자와 중성자와 같은 무거운 입자들 역시 그 뜻음 담아 Baryon이라 불렀다. 유카와의 이론이 발표된 이후 실제로 그 입자가 발견되었을 때 그 무게는 lepton과 baryon의 중간정도였기 때문에 Meson이라고 불렀다. 후에 Meson은 쿼크와 안티쿼크의 bound state라는 것이 밝혀졌고, 바리온은 3개의 quark의 bound state라는 것이 밝혀졌다. 질량도 상당히 다양하였기 때문에 meson과 baryon을 더이상 질량으로 구분하지 않고 위의 의미로 구분한다.
    3번의 내용에서 이야기한 I3와 Y 평면위에 쿼크들이 어떻게 위치하는지 먼저 확인하고 다음으로 넘어가도록 하자.
   
    Meson은 쿼크한개와 안티쿼크 한개의 결합으로 이루어지므로 만들 수 있는 경우의 수를 생각해보면 된다. 겔만은 그 과정을 직관적으로 이해할 수 있는 방법을 제시하였다. 쿼크로 이루어진 삼각형의 각 꼭지점에 안티쿼크로 이루어진 삼각형의 중심이 오도록 하는 것이다. 그림을 보면 알 수 있겠지만 육각형이 만들어 진다. 육각형의 꼭지점마다 Meson들이 위치하게 된다. 그 Meson의 구성은 안티쿼크 삼각형의 중심에 있는 쿼크와 안티쿼크 삼각형 꼭지점의 쿼크가 합쳐진 것이다. 이 기하학적이고 유용한 정리방법은 Y와 I3가 additative quantum number이기 때문에 좌표평면 위의 벡터합의 개념을 가져와 사용할 수 있는 것이다. 아래의 그림을 통해 이해할 수 있다.
   
   
    이제 문제는 가운데 부분이다. I3 = Y = 0인 이 메존들은 uubar, ddbar, ssbar(ubar, dbar등은 u나 d 위에 bar가 있는 것을 의미하는 것으로 안티파티클을 의미한다)의 선형결합으로 이루어진다. 총 세가지의 종류인데, 선형결합이 어떻게 이루어지는지 알아보는 것은 약간의 생각을 필요로 한다. I = Y = 0 인 것은 당연히 (uubar + ddbar + ssbar) 의 선형결합으로 이루어진 메존이다. 전자 두개의 스테이트를 기술할 때를 기억해보면 이해할 수 있을 것이다. 그 때 S = 0 & S3 = 0인 스테이트는 upup + downdown 스테이트다. 그리고 이것은 singlet이다. 따라서 다른 8개의 메존들과 구분하여 생각할 수 있다. 3*3 = 8 + 1 이 되는 것이다. 나머지 두개의 메존은 한번 더 전자 두개의 스테이트를 떠올리며 구할 수 있다. S = 1 & S3 = 0 인 스테이트는 upup - downdown 스테이트다. 따라서 메존역시 uubar - ddbar로 이루어진 스테이트가 있을 것이다. (쿼크이름이 왜 up quark와 down quark인지 이해할 수 이해할 수 있다) 마지막은 나머지 2개의 메존과 orthogonal하다는 조건을 통해 얻을 수 있다.
    요약하면 다음과 같다.
   
   
     
5. Baryon의 형성
    바리온은 메존과 같은 방식으로 이해할 수 있다. 세개의 쿼크 삼각형이 어떻게 합쳐질지 생각해보면 된다. 여기서부터는 퍼즐을 푸는 것처럼 맞추면 된다. 결과만 올리면 다음과 같다.